题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,求
的极大值点;
(2)若函数,判断
的单调性;
(3)若函数有两个极值点
,求证:
.
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)求导,求出
的单调区间后即可得解;
(2)由题意得,根据
、
、
、
分类讨论
的正负,即可得解;
(3)由可得
,
且
,则可得
,
,令
,根据
的单调性求出
的最大值后即可得解.
(1)当时,
.当
时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减.所以
是
的极大值点.
(2)由已知得,
的定义域为
,
.
当时,
,当
时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减.
当时,由
,得
或
.
因而当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
当时,由
,得
或
.
因而当与
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
当时,
,因而当
时,
单调递增.
当时,由
.得
或
,
因而当与
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
综上所述,当时,
在
上单调递增,在
上单调递减;
当时,
在
与
上单调递增,在
上单调递减;
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
与
上单调递增,在
上单调递减.
(3),则
的定义域为
.
.
若有两个极值点
,则方程
的判别式
,且
,
,
.
又,∴
即
.
,
设其中
.
由得
.
由于即
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
即的最大值为
.
从而成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校为了了解高一新生是否愿意参加军训,随机调查了80名新生,得到如下2×2列联表
愿意 | 不愿意 | 合计 | |
男 | x | 5 | M |
女 | y | z | 40 |
合计 | N | 25 | 80 |
(1)写出表中x,y,z,M,N的值,并判断是否有99.9%的把握认为愿意参加军训与性别有关;
(2)在被调查的不愿意参加军训的学生中,随机抽出3人,记这3人中男生的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
参考公式:
附:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |