题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点为
,左右两顶点
,点
为椭圆
上任意一点,满足直线
的斜率之积为
,且
的最大值为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与过点
且与
轴垂直的直线交于点
,过点
作
,垂足分别为
两点,求证:
.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
利用直线
的斜率之积为
,得到
的关系式,再利用椭圆定义可得,
,即可求出
,得到椭圆
的标准方程;
求得
及焦点坐标,设直线
,则
,
的中点
为
,设
,联立
消去
,求出
用k表示,分
和
两种情况,分别证明
即可.
根据题意
,
设,所以
,
所以,故
,从而椭圆
的标准方程为
.
证明:设直线
,则:
,
的中点为
为
,
联立,消去
整理得:
设,由韦达定理得:
,解得:
,
故有:, 又
,
当时,
,
,此时
轴,
所以四边形为矩形,所以
,
所以.
当时,因为
,
所以直线,即:
,
所以点到直线
的距离
, 而
,
即知:,所以以
为直径的圆与直线
相切,
因为四边形为直角梯形,
的中点为
,
所以.
综上可知,.
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