题目内容
18.在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知$\overrightarrow m=(a,\frac{c}{2})$,$\overrightarrow n=(cosC,1)$,且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=b$.(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=3,求△ABC的面积S的最大值.
分析 (Ⅰ)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式,整理后利用正弦定理化简,求出cosA的值,即可确定出角A的大小;
(Ⅱ)由a,cosA的值,利用余弦定理列出关系式,并利用基本不等式求出bc的最大值,确定出面积的最大值即可.
解答 解:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{m}$=(a,$\frac{c}{2}$),$\overrightarrow{n}$(cosC,1),∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b,即2acosC+c=2b,
由正弦定理,得2sinAcosC+sinC=2sinB,
∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinC=2cosAsinC,
∵sinC≠0,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,
又0<A<π,
∴A=$\frac{π}{3}$)
(Ⅱ)∵a=3,A=$\frac{π}{3}$,
由余弦定理,得b2+c2-2bc•cos$\frac{π}{3}$=9,即b2+c2-bc=9,
∵b2+c2≥2bc,
∴b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.
∴bc≤9,当且仅当b=c时等号成立,
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$,
则△ABC的面积S的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$.
点评 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
练习册系列答案
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