Question

13．在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2$\sqrt{2}$x（x≥0）．
（1）求sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α与cos2α的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）根据题意设出P与Q坐标，进而表示出PQ²，把PQ=4代入并利用基本不等式求出ab的最大值，确定出面积的最大值，进而求出此时P与Q的坐标即可．

解答 解：（1）由射线l的方程为y=2$\sqrt{2}$x（x≥0），可得sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{7}{9}$，
则sin（2α+$\frac{π}{6}$）=sin2αcos$\frac{π}{6}$+cos2αsin$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$-$\frac{7}{18}$；
（2）设P（a，0），Q（b，2$\sqrt{2}$b）（a＞0，b＞0），
在△POQ中，PQ=4，即PQ²=（a-b）²+8b²=16，
整理得：16=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，即ab≤4，
∴S_△POQ=$\sqrt{2}$ab≤4$\sqrt{2}$，当且仅当a=3b，即a=2$\sqrt{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$取得等号，
则△POQ面积最大时，点P，Q的坐标分别为P（2$\sqrt{3}$，0），Q（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．