Question

8．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=x+1；  
（2）f（x）=x³+3x，x∈[-4，4）；
（3）f（x）=|x-2|-|x+2|；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}+1，x＞0}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据奇函数和偶函数的定义，逐一分析各个函数是否满足定义，可得结论．

解答 解：（1）函数f（x）=x+1的定义域R关于原点对称，
f（-x）=-x+1与f（x）不相等，也不相反，
故函数f（x）=x+1是非奇非偶函数；  
（2）f（x）=x³+3x，x∈[-4，4）的定义域[-4，4）不关于原点对称，
故函数f（x）=x³+3x，x∈[-4，4）是非奇非偶函数；
（3）f（x）=|x-2|-|x+2|的定义域R关于原点对称，
f（-x）=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f（x），
故函数f（x）=|x-2|-|x+2|为奇函数；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}+1，x＞0}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
当x＞0时，-x＜0，此时f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+1$，f（-x）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，满足f（-x）=-f（x），
当x＜0时，-x＞0，此时f（x）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，f（-x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+1$，满足f（-x）=-f（x），
故函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}+1，x＞0}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$为奇函数．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的判定，熟练掌握并正确理解函数奇偶性的定义，是解答的关键．