题目内容
18.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是( )A. | 1 | B. | $\frac{1}{64}$ | C. | 1或$\frac{1}{64}$ | D. | 1或-$\frac{1}{64}$ |
分析 设切点为(x0,y0),则y0=x03-3x02+2x0,一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k,另一方面,根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率,便可建立关于x0的方程.继而得出k的值,即可求l的方程.再根据与y=x2+a相切,联立方程组,△=0可求出所求.
解答 解:设直线l:y=kx.∵y′=3x2-6x+2,∴y′|x=0=2,
又∵直线与曲线均过原点,于是直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2相切于原点时,k=2.直线l的方程为2x-y=0
若直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x切于点(x0,y0)(x0≠0),则k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$,∵y0=x03-3x02+2x0,
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=x02-3x0+2,
又∵k=y′|_x=x0=3x02-6x0+2,
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2,∴2x02-3x0=0,
∵x0≠0,∴x0=$\frac{3}{2}$,∴k=x02-3x0+2=-$\frac{1}{4}$,直线l的方程为x+4y=0.
直线l的方程为2x-y=0与y=x2+a联立,可得x2-2x+a=0,其中△=0,即(-2)2-4a=0,解得a=1;
直线l的方程为x+4y=0与y=x2+a联立,可得x2+$\frac{1}{4}$x+a=0,其中△=0,即($\frac{1}{4}$)2-4a=0,解得a=$\frac{1}{64}$.
故选:C
点评 本题主要考查了导数的几何意义,以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道综合题.
练习册系列答案
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |