Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ]
【解析】解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1 ，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1 ， EF∥BC1 ，
∴MN∥EF，又MN平面AEF，EF平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M= = = ，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N= ，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，
A1O= = = ，
A1M=A1N= ，
所以线段A1P长度的取值范围是[ ]．
所以答案是：[ ]．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的性质，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行即可以解答此题．