Question

【题目】设函数 .

（1）求的单调区间；

（2）设，且有两个极值点，其中，求的最小值；

（3）证明： .

Answer 1

【答案】（1）当， 在定义域上单调递增，无递减区间；当时， 的递增区间为， ，递减区间为（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求函数的定义域和导数，讨论a的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）求出函数g（x）的表达式，求出函数g（x）的导数，令，得，其两根为，且，所以

所以设，求导研究单调性求最值. （3）因为，所以要证，令，则，由（1）知易证明成立.

试题解析：

（1）的定义域为.

①当时， 恒成立， 在定义域上单调递增；

②当时，令得，

（Ⅰ）当时，即时， 恒成立，

所以在定义域上单调递增；

（Ⅱ）当时，即时， 的两根为或，

当时， 单调递增，

当时， 单调递减，

当时， 单调递增，

综上，当， 在定义域上单调递增，无递减区间；

当时， 的递增区间为， ，

递减区间为

（2）的定义域为，

令，得，其两根为，且，所以

所以

.

设，

则，

因为，

当时，恒有，当时，恒有，

总之， 时，恒有，所以在上单调递减，

所以，所以.

（3）因为，

所以要证，

令，

则，

由（1）知， 时， 在 单调递增，所以，

所以.