Question

3．下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f（x）都有f（x）•f（-x）≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为（　　）

• A． ②③④
• B． ①③
• C． ②
• D． ④

Answer 1

分析 ①举反例：函数f（x）=x，x∈[-1，1]，不正确；
②由奇函数f（x）可得：f（-x）=-f（x），于是f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，即可判断出正误；
③举反例：如f（x）=$\frac{（x-1）^{4}}{（x-1）^{2}}$，（x∈R，x≠1），即可判断出正误；
④举反例：如f（x）=0，x∈[-a，a]，a∈R₊，即可判断出正误．

解答 解：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数不一定为偶函数，例如函数f（x）=x，x∈[-1，1]，不正确；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f（x）都有，f（-x）=-f（x），∴f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，正确；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数不一定是偶函数，例如f（x）=$\frac{（x-1）^{4}}{（x-1）^{2}}$，（x∈R，x≠1），因此不正确；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且不唯一，例如f（x）=0，x∈[-a，a]，a∈R₊，因此不正确．
其中正确的序号为②．
故选：C．

点评 本题考查了函数奇偶性、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于中档题．