Question

14．设函数f（x）=-x²+x+2，对于给定的正数K，定义f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤K}\\{K，}&{f（x）＞K}\end{array}\right.$，若对于函数f（x）=-x²+x+2定义域内的任意x，恒有f_K（x）=f（x），则K的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根据定义则f_K（x）=f（x），等价为f（x）≤K，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：若对于函数f（x）=-x²+x+2定义域内的任意x，恒有f_K（x）=f（x），
则f（x）≤K，
∵f（x）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$≤$\frac{9}{4}$，
∴K≥$\frac{9}{4}$，
即K的最小值为$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，结合函数的新定义转化求f（x）≤K是解决本题的关键．