题目内容
20.曲线y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的切线斜率最大时切线方程是( )A. | x-4y-2=0 | B. | x+4y+2=0 | C. | x-4y+2=0 | D. | x+4y-2=0 |
分析 求出函数的导数,求得切线的斜率,运用基本不等式求得最大值,及切点,再由斜截式方程,即可得到切线方程.
解答 解:y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的导数为y′=$\frac{{e}^{x}}{({e}^{x}+1)^{2}}$
=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=$\frac{1}{4}$.
当且仅当x=0时,取得最大值$\frac{1}{4}$,
即有切线斜率最大值为$\frac{1}{4}$,切点为(0,$\frac{1}{2}$),
则切线的方程为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$,
即为x-4y+2=0.
故选:C.
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程,同时考查基本不等式的运用:求最值,正确求导和运用斜截式方程是解题的关键.
练习册系列答案
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12.3名男生与3名女生站在一排,如果要求男女生相间站,那么站法有( )
A. | 36种 | B. | 72种 | C. | 108种 | D. | 144种 |