题目内容
若a，b，c是△ABC三个内角A，B，C所对边，且asinAsinB+bcos2A=
a．
（1）求
；
（2）当cosC=
时，求cos（B-A）的值．
| 3 |
（1）求
| b |
| a |
（2）当cosC=
| ||
| 3 |
分析：（1）利用正弦定理对等式asinAsinB+bcos2A=
a进行化简即可解答．
（2）利用余弦定理确定△ABC为直角三角形，再根据三角函数的基本关系即可求出cos（B-A）的值．
| 3 |
（2）利用余弦定理确定△ABC为直角三角形，再根据三角函数的基本关系即可求出cos（B-A）的值．
解答：解：（1）∵asinAsinB+bcos2A=
a
由正弦定理得
sin2AsinB+sinBcos2A=
sinA
即sinB(sin2A+cos2A)=
sinA
故sinB=
sinA，
∴
=
（2）由余弦定理
cosC=
又∵
=
，cosC=
∴
=
，
∴c=
a
∴b2=a2+c2
∴△ABC为直角三角形，且B=90°
∴cos(B-A)=sinA=cosC=
| 3 |
由正弦定理得
sin2AsinB+sinBcos2A=
| 3 |
即sinB(sin2A+cos2A)=
| 3 |
故sinB=
| 3 |
∴
| b |
| a |
| 3 |
（2）由余弦定理
cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
又∵
| b |
| a |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴
| ||
| 3 |
| a2+3a2-c2 | ||
2
|
∴c=
| 2 |
∴b2=a2+c2
∴△ABC为直角三角形，且B=90°
∴cos(B-A)=sinA=cosC=
| ||
| 3 |
点评：本题考查正弦定理，余弦定理以及三角函数基本关系的综合应用，属于中档题．
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