题目内容

已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=3相交于A、B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,O是坐标原点,OC的斜率为2,求椭圆的方程.

a>.


解析:

思路分析一:本题涉及弦长、弦的中点,可以将弦长公式与点差法综合运用解决问题.

设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x0,y0),

则mx12+ny12=1,mx22+ny22=1.

两式相减得m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=0.

∴kAB=.

又∵kOC==2,∴=2,即m=2n.

将y=3-x代入椭圆方程mx2+ny2=1,得(m+n)x2-6nx+9n-1=0.

由弦长公式得|AB|=

=.

将m=2n代入得n=,m=.

故所求椭圆方程为2x2+y2=9.

练习册系列答案
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精英家教网已知中心在原点、焦点在x轴上椭圆，离心率为
6
3
，且过点A（1，1）
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Π）如图，B为椭圆右顶点，椭圆上点C与A关于原点对称，过点A作两条直线交椭圆P、Q（异于A、B），交x轴与P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求证：存在实数λ，使得
PQ
=λ
BC
．
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为
2
2
．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC与x轴交于点M，当△MAF的面积为
1
2
，求△MAC的内切圆方程．

如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过点（，），且它的左焦点F1将长轴分成2∶1，F2是椭圆的右焦点．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）设P是椭圆上不同于左右顶点的动点，延长F1P至Q，使Q、F2关于∠F1PF2的外角平分线l对称，求F2Q与l的交点M的轨迹方程．

 

已知中心在原点、焦点在x轴上椭圆，离心率为数学公式，且过点A（1，1）
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）如图，B为椭圆右顶点，椭圆上点C与A关于原点对称，过点A作两条直线交椭圆P、Q（异于A、B），交x轴与P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求证：存在实数λ，使得数学公式．
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC与x轴交于点M，当△MAF的面积为，求△MAC的内切圆方程．

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