题目内容
若A，B，C是上不共线的三点，动点P满足
=
[(1-t)
+(1-t)
+(1+2t)
]（t∈R且t≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对
=
[(1-t)
+(1-t)
+(1+2t)
]进行化简，取AB的中点D，得到
+
，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，t≠0，则点P的轨迹一定不经过△ABC的重心，但点P的轨迹一定通过△ABC的AB边的中点．
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 2(1-t) |
| 3 |
| OD |
| 1+2t |
| 3 |
| OC |
解答：解：取AB的中点D，则 2
=
+
∵
=
[(1-t)
+(1-t)
+(1+2t)
]
∴
=
[(1-t)(2
)+(1+2t)
]
=
+
，
而
+
=1，
∴P、C、D三点共线，
∵t≠0
∴点P的轨迹为直线CD，且不过重心，但一定经过AB的中点D．
故选D．
| OD |
| OA |
| OB |
∵
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OD |
| OC |
=
| 2(1-t) |
| 3 |
| OD |
| 1+2t |
| 3 |
| OC |
而
| 2(1-t) |
| 3 |
| 1+2t |
| 3 |
∴P、C、D三点共线，
∵t≠0
∴点P的轨迹为直线CD，且不过重心，但一定经过AB的中点D．
故选D．
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，属于基础题．
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＝
[(1－t)
＋(1－t)
＋(1＋2t)
](t∈R且t≠0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的
（t∈R且t≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的
（t∈R且t≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）