Question

19．已知数列{a_n}满足a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列．
（Ⅰ）求q的值和{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若下图所示算法框图中的a_i即为（I）中所求，回答以下问题：
（1）若记b所构成的数列为{b_n}，求数列{b_n}的前n项和S_n
（2）求该框图输出的结果S和i．

Answer 1

分析 （I）由a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，可解得即a₄-a₂=a₅-a₃，即a₂（q-1）=a₃（q-1）．又q≠1，解得a₃=a₂=2，从而解得q=2，分情况讨论即可得解{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（I）得b${\;}_{n}=\frac{{log}_{2}^{{a}_{2n}}}{{a}_{2n-1}}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．设{b_n}的前n项和为S_n，则可求S_n，$\frac{1}{2}$S_n，错位两式相减，整理得S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，又${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+3}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}＞0$，n∈N^*恒成立，既得数列{S_n}单调递增，结合${S_3}=\frac{11}{4}，{S_4}=\frac{26}{8}$，从而得解．

解答 解：（I）由已知，有2（a₃+a₄）=（a₂+a₃）+（a₄+a₅），即a₄-a₂=a₅-a₃，所以a₂（q-1）=a₃（q-1）．又因为q≠1，故a₃=a₂=2，由a₃=qa₁，得q=2．
当n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=a_2k-1=2^k-1=2${\;}^{\frac{n-1}{2}}$；
当n=2k（k∈N^*）时，a_n=a${\;}_{2k}={2}^{k}={2}^{\frac{n}{2}}$．
所以，{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}}&{n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}}&{n为偶数}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（I）得b${\;}_{n}=\frac{{log}_{2}^{{a}_{2n}}}{{a}_{2n-1}}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．设{b_n}的前n项和为S_n，则
S_n=1×$\frac{1}{{2}^{0}}+2×\frac{1}{{2}^{1}}+3×\frac{1}{{2}^{2}}+…++（n-1）×\frac{1}{{2}^{n-2}}+n×\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{{2}^{1}}+2×\frac{1}{{2}^{2}}+3×\frac{1}{{2}^{3}}+…+n×\frac{1}{{2}^{n}}$，
上述两式相减，得$\frac{1}{2}$S_n=1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
整理得，S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．
所以，数列{b_n}的前n项和为4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，
又${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+3}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}＞0$，n∈N^*恒成立
所以数列{S_n}单调递增，又${S_3}=\frac{11}{4}，{S_4}=\frac{26}{8}$．
所以输出的结果：$S=\frac{26}{8}，i=5$．

点评 本题主要考查了循环结构的程序框图，数列通项公式及数列求和的解法，综合性较强，属于基本知识的考查．