Question

20．某风景区有40辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日72元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

Answer 1

分析 （1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；
（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．

解答 解：（1）当x≤6时，y=40x-72，由40x-72＞0，解得x＞1.8，
∵x∈N^*，∴x≥2，∴2≤x≤6，x∈N^*…（2分）
当x＞6时，y=[40-3（x-6）]x-72=-3x²+58x-72…（4分）$由y＞0，有3{x^2}-58x+72＜0，即\frac{4}{3}＜x＜18（x∈{N^*}）$，∴6＜x≤17（x∈N^*），…（6分）
故$y=\left\{\begin{array}{l}40x-72（2≤x≤6，x∈{N^*}）\\-3{x^2}+58x-72（6＜x≤17，x∈{N^*}）\end{array}\right.$…（7分）
（2）对于y=40x-72（2≤x≤6，x∈N^*），
显然当x=6时，y_max=168（元），…（9分）
$对于y=-3{x^2}+58x-72=-3{（x-\frac{29}{3}）^2}+\frac{625}{3}（6＜x≤17，x∈{N^*}）$
当x=10时，y_max=208（元）
∵208＞168…（11分）
∴当每辆自行车的日租金定在10元时，才能使一日的净收入最多…（13分）

点评 本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．