Question

5．设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和极值；
（2）画出函数的大致图象，结合图象从而求出a的范围；
（3）问题转化为k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3（x²-2），令f′（x）=0，得x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$
∴，x＜-$\sqrt{2}$或x＞$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0，当-$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$时，f′（x）＜0，
f（x）的单调递增区间（-$∞，-\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}，+∞$），单调递减区间是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
当x=-$\sqrt{2}$，f（x）有极大值5+4$\sqrt{2}$；
当x=$\sqrt{2}$，f（x）有极小值5-4$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图示：

∴当5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，
即当5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$时方程f（x）=a有三解．
（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）
∵x＞1，∴k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²+x-5，由二次函数的性质，g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（1）=-3
∴所求k的取值范围是k≤-3．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，二次函数的性质，本题是一道中档题．