题目内容
13.已知全集U=R,非空集合A={x|$\frac{x-2}{x-3a-1}$<0},B={x|$\frac{x-{a}^{2}-2}{x-a}$<0}.(Ⅰ)当a=$\frac{1}{2}$时,求(∁UB)∩A;
(Ⅱ)条件p:x∈A,条件q:x∈B,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
分析 先求出集合A、B,再求出CUB,借助数轴求出,(CUB)∩A.
(Ⅱ)由题意知,p⇒q,可知A⊆B,B={x|a<x<a2+2}.对于集合A,其解集的端点是 3a+1和2,大小有三种情况,在每种情况下,求出集合A,借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系,解不等式组求出a的范围
解答 解:(Ⅰ)当a=$\frac{1}{2}$时,
对于集合A:$\frac{x-2}{x-\frac{5}{2}}$<0,即(x-2)(x-$\frac{5}{2}$)<0,解得2<x<$\frac{5}{2}$,所以A=(2,$\frac{5}{2}$),
对于集合B,$\frac{x-\frac{9}{4}}{x-\frac{1}{2}}$<0,解得,$\frac{1}{2}$<x<$\frac{9}{4}$,所以B=($\frac{1}{2}$,$\frac{9}{4}$),
所以CUB=(-∞.$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{9}{4}$,+∞),
所以(CUB)∩A=[$\frac{9}{4}$,$\frac{5}{2}$);
(Ⅱ)由q是p的必要条件,即p⇒q,可知A⊆B.
由a2+2>a,得 B={x|a<x<a2+2}.
①当3a+1>2,即a>$\frac{1}{3}$时,A={x|2<x<3a+1},再由$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{{a}^{2}+2≥3a+1}\end{array}\right.$,解得$\frac{1}{3}$<a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
②当3a+1=2,即a=$\frac{1}{3}$时,A=∅,不符合题意;
③当3a+1<2,即a$<\frac{1}{3}$时,A={x|3a+1<x<2},再由$\left\{\begin{array}{l}{a≤3a+1}\\{{a}^{2}+2≥2}\end{array}\right.$,解得$-\frac{1}{2}$<a<$\frac{1}{3}$;
综上所述a的取值范围为($-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$)∪($\frac{1}{3}$,$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$).
点评 本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系(借助数轴列出不等关系),体现了分类讨论的数学思想.
A. | (0,+∞) | B. | [0,+∞) | C. | (-∞,0) | D. | (-∞,+∞) |
A. | 锐角 | B. | 直角 | C. | 钝角 | D. | 无法判断 |
A. | 1 | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{2}{5}$ |
A. | (-∞,2$\sqrt{2}$) | B. | (2$\sqrt{2}$,+∞) | C. | (-∞,2) | D. | (2,+∞) |