题目内容
【题目】甲乙两人进行某种游戏比赛，规定：每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束.同时规定：比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为可
，乙获胜的概率为
.假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经
次结束.求的期望
的变化范围.
【答案】见解析
【解析】
记比赛经
次结束的概率为
.
若为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，比赛无法结束.
考虑为偶数时，头两次比赛的结果：1.甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为
； 2.甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情形，故出现的概率为
.于是，1、2两次，3、4两次，
，
、
两次均未分胜负.若
，则第
、两次为有胜负的两次.从而，
.
若
，则比赛必须结束.从而，
.
综上，
.令
.则
.因此
，所以
.
练习册系列答案
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【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中
构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面
列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，其中
.
| .15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
