Question

7．设x＞0，y＞0且x+2y=1，f（x，y）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}}$的最小值为10．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，化简f（x，y）=$\frac{2}{x+y-\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，令m=$x+y-\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，令x=ρcosθ，y=ρsinθ$（ρ＞0，θ∈（0，\frac{π}{2}））$．利用x+2y=1，可得$ρ=\frac{1}{cosθ+2sinθ}$，可得（1-2m）sinθ+（1-m）cosθ=1，因此$\sqrt{（1-2m）^{2}+（1-m）^{2}}≥1$，化简解出即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴f（x，y）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}}$=$\frac{x+y}{xy}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{xy}$=$\frac{x+y+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{xy}$=$\frac{2}{x+y-\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
令m=$x+y-\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，令x=ρcosθ，y=ρsinθ$（ρ＞0，θ∈（0，\frac{π}{2}））$．
∵x+2y=1，∴$ρ=\frac{1}{cosθ+2sinθ}$，
∴m=ρ（cosθ+sinθ-1）=$\frac{cosθ+sinθ-1}{cosθ+2sinθ}$，
化为（1-2m）sinθ+（1-m）cosθ=1，
∴$\sqrt{（1-2m）^{2}+（1-m）^{2}}≥1$，化为5m²-6m+1≥0，
解得m≥1或m$≤\frac{1}{5}$，
∴f（x，y）≥10．

点评 本题考查了三角函数换元、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．