题目内容

2.函数f(x)=ax3-3x+1,对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a的取值集合为(  )
A.(-∞,0]B.[2,4]C.[4,+∞)D.{4}

分析 当x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为:a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$,设g(x)=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$,则g′(x)=$\frac{3(1-2x)}{{x}^{4}}$,由函数性质求出a≥4;x∈[-1,0)时,求出a≤4,由此求出a=4.

解答 解:若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0都成立;
当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为:
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$,
设g(x)=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$,则g′(x)=$\frac{3(1-2x)}{{x}^{4}}$,
所以g(x)在区间(0,$\frac{1}{2}$]上单调递增,在区间[$\frac{1}{2}$,1]上单调递减,
因此g(x)max=g($\frac{1}{2}$)=4,从而a≥4;
当x<0即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为:a≤$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$,
g(x)=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$,在区间[-1,0)上单调递增,
因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,
综上a=4.即a的取值集合为{4}.
故选D.

点评 本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数和函数单调性性质的合理运用.

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