题目内容
【题目】已知函数 
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程；
（2）当 
时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若x＞0，求函数 
的最大值．
【答案】
（1）解：a=1时，函数f（x）=ln（1+x）﹣ 
，
f′（x）= 
﹣ 
= 
，f′（e﹣1）= 
，
又f（e﹣1）= 
，
∴a=1时，函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程是：
y﹣ = （x﹣e+1）
（2）解：由题意得：函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），
且f′（x）= 
，
＜a≤2时，则2a﹣3＞0，
若﹣1＜x＜0或x＞2a﹣3，则f′（x）＞0，若0＜x＜2a﹣3，则f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（﹣1，0）（2a﹣3，+∞）递增，在（0，2a﹣3）递减
（3）解：显然g（x）=g（ 
），令φ（x）=lng（x），
因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，
φ′（x）=（1﹣ 
）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，
设h（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，
h′（x）= 
，
由（2）得，当a=2时，f（x）在区间（0，1]递减，
则f（x）=ln（1+x）﹣ 
＜f（0）=0，h′（x）＜0，
故函数h（x）在区间（0，1]递减，于是h（x）≥h（1）=0，
从而函数φ（x）在区间（0，1]递增，
进而φ（x）≤φ（1）=2ln2，
∵φ（x）=lng（x），
∴函数g（x）的最大值是4
【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣1），f（e﹣1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据a的范围求出函数的单调区间即可；（3）令φ（x）=lng（x），根据φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出φ（x）的最大值，从而求出g（x）的最大值即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．
