题目内容
【题目】已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与P关于直线
对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线
经过
及AB的中点,求直线
在y轴上的截距b的取值范围;
(3)若Q是双曲线C上的任一点,、
为双曲线C的左、右两个焦点,从
引
的角平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
.
【解析】
(1)设双曲线的渐近线方程为
,则
,由该直线与圆
相切,知双曲线
的两条渐近线方程为
.由此利用双曲线
的一个焦点为
,能求出双曲线
的方程.
(2)由,得
.令
.直线与双曲线左支交于两点,等价于方程
在
上有两个不等实根.由此能求出直线
在
轴上的截距
的取值范围.
(3)若在双曲线的右支上,则延长
到
,使
,若
在双曲线的左支上,则在
上取一点
,使
.由此能求出点
的轨迹方程.
(1)设双曲线的渐近线方程为
,则
,
该直线与圆
相切,
双曲线
的两条渐近线方程为
.
故设双曲线的方程为
.
又双曲线的一个焦点为
,
,
.
双曲线
的方程为
.
(2)由,得
.
令
直线与双曲线左支交于两点,等价于方程在
上有两个不等实根.
因此,解得
.
又中点为
,
因为直线与
轴相交,所以
,即
,
直线
的方程为
.
令,得
.
,
,
.
(3)若在双曲线的右支上,
则延长到
,使
,
若在双曲线的左支上,
则在上取一点
,使
.
根据双曲线的定义,
所以点在以
为圆心,2为半径的圆上,
即点的轨迹方程是
①
由于点是线段
的中点,
设,
,
.
则,即
.
代入①并整理得点的轨迹方程为
.
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【题目】为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统计如下(单位:本).
文学类专栏 | 科普类专栏 | 其他类专栏 | |
文学类图书 | 100 | 40 | 10 |
科普类图书 | 30 | 200 | 30 |
其他图书 | 20 | 10 | 60 |
(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率;
(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率;
(3)假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为,
,
,其中
,
,
,当
,
,
的方差
最大时,求
,
的值,并求出此时方差
的值.