题目内容

12.已知函数f(x)=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$,若对任意x>0有f(x)>ax2-1恒成立,求a的取值范围.

分析 利用分离常数法,求出a的不等式,构造函数g(x),求出g(x)的取值范围即得a的取值范围.

解答 解:当x∈(0,+∞)时,f(x)>ax2-1恒成立,
∴x+$\frac{1}{{e}^{x}}$>ax2-1,
即a<$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$,
设g(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$,其中x>0,
∴g′(x)=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x+2}{{x}^{3}{e}^{x}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$<0在x>0恒成立,
g(x)在(0,+∞)上是单调减函数;
∴g(x)>0,即a≤0;
∴实数a的取值范围是(-∞,0].

点评 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了利用导数判断函数的单调性,不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,是综合性题目.

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