Question

1．已知数列{a_n}满足：a_n=a_n-1+1（n≥2，n∈N），且a₃是a₁与a₅+2的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（2）若${b_n}={2^{a_n}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=a_n-1+1得：数列{a_n}是等差数列且公差d=1，又a₃是a₁与a₅+2的等比中项，可得${a_3}^2={a_1}（{a_5}+2）$，解得a₁，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n=a_n-1+1得：数列{a_n}是等差数列且公差d=1，
又a₃是a₁与a₅+2的等比中项，
∴${a_3}^2={a_1}（{a_5}+2）$，
即${（{a_1}+2）^2}={a_1}（{a_1}+4+2）$，
解得：a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$．
（2）${b_n}={2^{a_n}}={2^{n+1}}$，
∴${T_n}={2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}=\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+2}}-4$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．