Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程是y=$\sqrt{3}$x，它的一个焦点与抛物线y²=16x的焦点相同，则双曲线的方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• B． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{8}=1$
• C． $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{9}=1$
• D． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 先由双曲线的渐近线方程可知$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，再由抛物线y²=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c²=a²+b²列方程组，解得a²、b²即可．

解答 解：由双曲线渐近线方程可知$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②
又c²=a²+b²③
联立①②③，解得a²=4，b²=12，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．