题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若的极小值为
,求实数
的值;
(2)讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】
(1)因为,故
,根据
的极小值为
,讨论
在不同范围内
单调性,即可求得答案;
(2),
,可得
,讨论
在不同范围内
单调性,即可求得答案.
(1)
,
①当在
单增,
单减,
单增,
的极小值为
.
即,
解得或者
(舍去);
②当时,
在
单增,无极小值;
③当时,
在
单增,
单减,
单增,
的极小值为
,
解得(舍去);
综上所述,
(2),
,
,
当
时,
在
单增,
单减,
由
①当时,即
时,
无零点;
②当时,即
时,
有一个零点;
③当时,即
时,
当时,
,
当时,
,
有两个零点;
当
时,即
时,
在
单增,
单减,
单增,
由,当
时,
,
有一个零点;
当
时,即
时,
在
单增,
由,当
时,
,
有一个零点;
当
时,即
时,
在
单增,
单减,
单增,
由,
当时,
,所以
有一个零点;
综上,当时,
没有零点
当或
时,
有一个零点;
当时,
有两个零点.
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