题目内容
如图，在三棱锥
中，
，
，D为AC的中点，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）如果三棱锥
的体积为3，求
.
（1）证明过程详见解析；（2）
.
解析试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取
中点
，连结
，得出
，再利用，根据线面垂直的判定证出
平面
，从而得到垂直平面内的线
，再利用为中位线，得出
平面
，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，根据已知进行等体积转换，利用三棱锥的体积公式列出等式，解出
的值.
试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，
．
因为
，所以
．
又，
，所以平面，
因为
平面，所以
． 3分
由已知，
，又
，所以
，
因为
，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
平面．
设
，因为
为
的中点，所以
， 10分
由
解得
，即． 12分
考点：1.线面垂直的判定和性质；2.面面垂直的判定；3.锥体的体积公式.
练习册系列答案
相关题目
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。
，求证：
中，四边形
为菱形，
，四边形
为矩形，若
，
，
.
平面
；
面
；
的体积.
=2，点G为AC的中点．
中，
, 沿平面
把这个长方体截成两个几何体: 几何体（1）；几何体（2）
、
，求
的正切值
中，侧面
为矩形，
，
，
为
的中点，
与
交于点
，
侧面
；
，求三棱锥
的体积.
，
，PB与底面ABC成60°角，
分别是
与
的中点，
是线段
上任意一动点（可与端点重合），求多面体
的体积。
是正方形，
平面
，
分别为
，
的中点，且
.
平面
；
与四棱锥
的体积之比.