Question

【题目】如图，三棱柱的各棱长均相等， 底面，E，F分别为棱的中点．

（1）过作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由直线平面，利用线面平行的判定定理可得直线直线，又直线，可得四边形是平行四边形，则，即点为的中点；（2）取的中点，由于两两互相垂直，所以可以为轴建立如空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）如图所示，平面FHA1即为平面α，H点为线段BB1的中点．

理由如下：

因为直线BE//平面α，平面α∩平面AB1=A1H，直线BE平面AB1，

所以直线BE//直线A1H，又A1E//直线BH，

所以四边形BEA1H是平行四边形，则BH= A1E，

即H点为BB1的中点．

（2）如图，取B1C1的中点Q，显然FC，FQ，FA两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz如图所示．

不妨设棱长为2，则H（-1，1，0），A1（0，2， ），

则， ，

设面FHA1的法向量，

则由得

令，得．

取平面BFH的一个法向量，

于是．

所以二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.