Question

【题目】已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求的前项和.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).

【解析】试题分析：

（1）由数列中与的关系及条件可得，从而可得结论成立．（2）由（1）得到，故得，然后再由与的关系可求得．（3）由（2）得，根据数列项的特点，选择并项的方法求和，但需要对n进行分类讨论．

试题解析：

（1）由题意知，即，①

当n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1，代入①式得

，

整理得（n≥2）．

又当n=1时，由①式可得S1=1；

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．

（2） 由（1）可得，

∵数列{an}是各项都为正数，

∴，

∴当n≥2时，，

又满足上式，

∴．

（3）由（2）得，

当n为奇数时，

当n为偶数时，

∴数列span>{bn}的前n项和．