已知曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$.直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$．(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和直线l在y轴上的截距,(Ⅱ)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线.交l于点A.求|PA|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l在y轴上的截距；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

分析本题（Ⅰ）由曲线C有参数方程，消去参数后，得到其普通方程，再用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得到曲线C的极坐标方程，由直线l的参数方程，消去参数后，得到其普通方程，令x=0，得到直线l在y轴上的截距．
（Ⅱ）将直线l平移至与曲线C相切，得到直线m，求出切点记为P，过点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，此时的|PA|长可以利用直角三角形去计算，所得长即为最值．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
令$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
得：ρ²（9cos²θ+4sin²θ）=36．
∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴2x+y-6=0．
令x=0，得：y=3．
∴曲线C的极坐标方程为：ρ²（9cos²θ+4sin²θ）=36．直线l在y轴上的截距为3．
（Ⅱ）将直线l平移至与曲线C相切，得到直线m，
设直线m的方程为：2x+y+n=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{2x+y+n=0}\end{array}\right.$，
得到：25x²+16nx+4n²-36=0，
令△=0，得：（16n）²-4×25×（4n²-36）=0，
∴n=±5，
直线l：2x+y-6=0与直线m₁：2x+y-5=0的距离为：
$d=\frac{|-5-（-6）|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{d}{sin30°}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
直线l：2x+y-6=0与直线m₂：2x+y+5=0的距离为：
$d=\frac{|-6-5|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{d}{sin30°}=\frac{22\sqrt{5}}{5}$，
∴|PA|的最大值为$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查了极坐标方程化为普通方程、参数方程转化为普通方程，直线与圆锥曲线的位置关系，平行线间的距离，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．

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