已知曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$.直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$．(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和直线l在y轴上的截距,(Ⅱ)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线.交l于点A.求|PA|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l在y轴上的截距；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

分析本题（Ⅰ）由曲线C有参数方程，消去参数后，得到其普通方程，再用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得到曲线C的极坐标方程，由直线l的参数方程，消去参数后，得到其普通方程，令x=0，得到直线l在y轴上的截距．
（Ⅱ）将直线l平移至与曲线C相切，得到直线m，求出切点记为P，过点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，此时的|PA|长可以利用直角三角形去计算，所得长即为最值．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
令$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
得：ρ²（9cos²θ+4sin²θ）=36．
∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴2x+y-6=0．
令x=0，得：y=3．
∴曲线C的极坐标方程为：ρ²（9cos²θ+4sin²θ）=36．直线l在y轴上的截距为3．
（Ⅱ）将直线l平移至与曲线C相切，得到直线m，
设直线m的方程为：2x+y+n=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{2x+y+n=0}\end{array}\right.$，
得到：25x²+16nx+4n²-36=0，
令△=0，得：（16n）²-4×25×（4n²-36）=0，
∴n=±5，
直线l：2x+y-6=0与直线m₁：2x+y-5=0的距离为：
$d=\frac{|-5-（-6）|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{d}{sin30°}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
直线l：2x+y-6=0与直线m₂：2x+y+5=0的距离为：
$d=\frac{|-6-5|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{d}{sin30°}=\frac{22\sqrt{5}}{5}$，
∴|PA|的最大值为$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查了极坐标方程化为普通方程、参数方程转化为普通方程，直线与圆锥曲线的位置关系，平行线间的距离，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．

练习册系列答案

红领巾乐园沈阳出版社系列答案

思维体操系列答案

轻松夺冠单元期末冲刺100分系列答案

阳光课堂课时作业系列答案

暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司系列答案

暑假作业人民教育出版社系列答案

暑假作业上海科学技术出版社系列答案

暑假作业内蒙古教育出版社系列答案

暑假最佳学习方案假期总动员白山出版社系列答案

暑假大串联系列答案

相关题目

10．下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①以向量起点为圆心，半径为单位长度1的圆；②两个点；③直线．

11．若|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$．

5．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，圆C₂：x²+y²=2，若存在直线l与椭圆C₁和C₂各有且只有一个交点，则称直线l为椭圆C₁和C₂的公切线．
（1）若椭圆C₁和C₂的公切线存在，求椭圆C₁的焦距取值范围；
（2）若椭圆C₁和C₂的公切线存在，且公切线与椭圆C₁和C₂的交点分别为A，B，求|AB|的取值范围．

12．已知圆F₁：（x+1）²+y²=8，点F₂（1，0），点Q在圆F₁上运动，QF₂的垂直平分线交QF₁于点P．
（1）求动点P的轨迹的方程C；
（2）设M，N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若$\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{O{F_1}}$，O为坐标原点，求直线MN的斜率；
（3）过点$S（{0，-\frac{1}{3}}）$的动直线l交曲线C于A，B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，折线AOB为一条客机的飞机航线，其中OA、OB夹角为$\frac{2π}{3}$，若一架客机沿A-O-B方向飞行至距离O点90km处的C点时，发现航线转折点O处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为CD，若CD与OA的夹角为θ，D在OB上，已知客机的飞行速度为15km/min．
（1）当飞机在临时航线上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示飞机到O点的距离OE；
（2）当飞机在临时航线上飞行t分钟时，高压气旋半径r=3t$\sqrt{t}$km，且半径增大到81km时不再继续增大，若CD与OA的夹角θ=$\frac{π}{4}$，试计算飞机在临时航线CD上是否能安全飞行．

9．已知在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，且a=5，b=8，∠C=60°，求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$．

6．公差不为零的递增等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=2，S₈=32，则log₂（a₆-a₃）=（　　）

2+$\frac{1}{2}$log₃2

2-$\frac{1}{2}$log₂3

2+$\frac{1}{3}$log₂3

7．已知A（3，0），B（4，4），C（2，1），求AC和OB的交点P的坐标．