题目内容

2.如图,折线AOB为一条客机的飞机航线,其中OA、OB夹角为$\frac{2π}{3}$,若一架客机沿A-O-B方向飞行至距离O点90km处的C点时,发现航线转折点O处开始产生一个圆形区域的高压气旋,高压气旋范围内的区域为危险区域(含边界),为了保证飞行安全,客机航线需临时调整为CD,若CD与OA的夹角为θ,D在OB上,已知客机的飞行速度为15km/min.
(1)当飞机在临时航线上飞行t分钟至点E时,试用t和θ表示飞机到O点的距离OE;
(2)当飞机在临时航线上飞行t分钟时,高压气旋半径r=3t$\sqrt{t}$km,且半径增大到81km时不再继续增大,若CD与OA的夹角θ=$\frac{π}{4}$,试计算飞机在临时航线CD上是否能安全飞行.

分析 (1)OC=90km,AE=15t,∠OCE=θ,在△COE中,由余弦定理取得OE即可.
(2)求出t≤9,代入(1)判断OE与81的大小关系即可.

解答 解:(1)由题意,OC=90km,AE=15t,∠OCE=θ,在△COE中,由余弦定理可得:
∴OE=$\sqrt{8100+225{t}^{2}-2700tcosθ}$;
(2)由题意能安全飞行,必有3t$\sqrt{t}$≤81,可得t≤9,
此时OE=$\sqrt{8100+225×81-2700×9×\frac{\sqrt{2}}{2}}$≈$\sqrt{9145}$>81,
飞机在临时航线CD上是安全飞行.

点评 本题考查三角函数的几何中的应用,余弦定理的应用,考查计算能力.

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