题目内容

【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,其前项和为,且.

(1)求数列的通项公式;

(2)数列满足.

求数列的通项公式;

是否存在正整数,使得成等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)an=2n-1(2)bn,nN*.m=3,n=8

【解析】

试题分析:(1)先根据等差数列通项公式及求和公式,解方程组得舍去),从而可得an=2n-1(2)因为,所以利用叠加法可求数列的通项公式bn-b1,即bn,nN*.b2,bm,bn成等差数列,得b2+bn=2bm.解出关系:2m=7-.最后根据分数整除性,得只有当n+1=9,即n=8时,m=3,满足题意

试题解析:(1)设数列{an}的公差为d,则d>0

a2·a3=15,S4=16,

解得舍去

所以an=2n-1.

(2)因为b1=a1,bn+1-bn

所以b1=a1=1,

bn+1-bn

b2-b1

b3-b2

……

bn-bn-1,(n2)

累加得:bn-b1

所以bn=b1=1+

b1=1也符合上式

bn,nN*.

假设存在正整数m、n(mn),使得b2,bm,bn成等差数列,

则b2+bn=2bm

又b2,bn,bm

所以+()=2(),即

化简得:2m==7-

当n+1=3,即n=2时,m=2,(舍去);

当n+1=9,即n=8时,m=3,符合题意.

所以存在正整数m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差数列

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