Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan ， 其中λ≠0．
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5= ，求λ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵Sn=1+λan，λ≠0．

∴an≠0．

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，

即（λ﹣1）an=λan﹣1，

∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，

即 = ，（n≥2），

∴{an}是等比数列，公比q= ，

当n=1时，S1=1+λa1=a1，

即a1= ，

∴an= （ ）n﹣1

（2）

解：若S5= ，

则若S5=1+λ（ （ ）4= ，

即（ ）5= ﹣1=﹣ ，

则 =﹣ ，得λ=﹣1

【解析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．