题目内容
【题目】定义在上的函数
满足对于任意实数
,
都有
,且当
时,
,
.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)判断的单调性,并求当
时,
的最大值及最小值;
(3)解关于的不等式
.
【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2)在
上是减函数.最大值为6,最小值为-6; (3)答案不唯一,见解析
【解析】
(1)令,求出
,再令
,由奇偶性的定义,即可判断;
(2)任取,则
.由已知得
,再由奇函数的定义和已知即可判断单调性,由
,得到
,
,再由单调性即可得到最值;
(3)将原不等式转化为,再由单调性,即得
,即
,再对b讨论,分
,
,
,
,
共5种情况分别求出它们的解集即可.
(1)令,则
,即有
,
再令,得
,则
,
故为奇函数;
(2)任取,则
.由已知得
,
则,
∴,∴
在
上是减函数.
由于,则
,
,
.由
在
上是减函数,得到当
时,
的最大值为
,最小值为
;
(3)不等式,即为
.
即,即有
,
由于在
上是减函数,则
,即为
,
即有,
当时,得解集为
;
当时,即有
,
①时,
,此时解集为
,
②当时,
,此时解集为
,
当时,即有
,
①当时,
,此时解集为
,
②当时,
,此时解集为
.
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