题目内容
【题目】某工厂打算设计一种容积为2m3的密闭容器用于贮藏原料,容器的形状是如图所示的直四棱柱,其底面是边长为x米的正方形,假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计.
（1）请你确定x的值,使得该容器的外表面积最小;
（2）若该容器全部由某种每平方米价格为100元的材料做成,且制作该容器仅需将购置的材料做成符合需要的矩形,这些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和侧面(假设这一过程中产生的费用和材料损耗可忽略不计),再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊接即可做成该容器,焊接费用是每米500元,试确定x的值,使得生产每个该种容器的成本(即原料购置成本+焊接费用)最低.
【答案】（1）当
时,该容器的表面积最小.（2）当时,生产每个容器的成本最低.
【解析】
（1）设该容器高为h, 设该容器的外表面积为S,求出
,再利用导数求函数的最小值得解；（2）设生产每个容器的成本为C(单位:元), 则
,再利用导数求函数的最小值得解.
（1）设该容器高为h,据体积为2m3得x2h=2,即
,
设该容器的外表面积为S,则,
则
,
令S′＞0,解得
,此时函数S(x)单调递增,令S′＜0,解得
,此时函数S(x)单调递减,
∴当时,该容器的表面积最小;
（2）设生产每个容器的成本为C(单位:元),
则
,
∴
,
令C′＞0,解得,此时函数C(x)单调递增,令C′＜0,解得,此时函数C(x)单调递减,
∴当时,生产每个容器的成本最低;
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