Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A1,A2,…,An,…B1,B2,…,Bn,…均在抛物线x=y2上,线段AnBn与x轴的交点为Hn.将△OA1B1,△H1A2B2,…,△HnAn+1Bn+1,…的面积分别记为S1,S2,…,Sn+1,….已知上述三角形均为等腰直角三角形,且它们的顶角分别为O,H1,…,Hn,….

（1）求S1和S2的值;

（2）证明:n≤sn≤n2.

Answer 1

【答案】（1）,.（2）答案见解析

【解析】

（1）由OA1:y=x与x=y2联立可得S1=1, 由H1A2:y=x﹣1与x=y2联立可得S2=;（2）设A1,A2,…,An,…的纵坐标为x1,x2,…,xn,…,求得xn+1,再利用数学归纳法证明n≤Sn≤n2.

（1）由OA1:y=x与x=y2联立可得x=0或1,故A1(1,1),即S1=1,

由H1A2:y=x﹣1与x=y2联立可得x,

故A2(,),

因此S2=()2;

（2）设A1,A2,…,An,…的纵坐标为x1,x2,…,xn,…,

可得Sn=xn2,且HnAn+1:y=x﹣(xn+xn﹣1+…+x1),

与x=y2联立可得xn+1=xn+12﹣(xn+xn﹣1+…+x1),即=xn+12,

将=xn+12,与=xn2，相减可得xn+1=xn+12﹣xn2,

进而解得xn+1,

下面运用数学归纳法证明n≤Sn≤n2.

当x=1,2时,S1=1,S2=,符合题意;

当n=k时,假设xk≤k成立,

一方面,xk+1

0,即有xk+1;

另一方面,xk+1﹣(k+1)(k+1)

(k)≤0,即有xk+1≤k+1.

可得n=k+1时,xk+1≤k+1.

因此xn≤n,即n≤Sn≤n2.