题目内容
【题目】对于函数,若在其定义域内存在实数
,使得
成立,则称
有“※点”
。
(1)判断函数在
上是否有“※点”。并说明理由;
(2)若函数在
上有“※点”,求正实数a的取值范围。
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)令,利用零点存在定理,判断端点处的函数值是否异号即可;
(2)若函数在(0,+∞)上有“※点”,只需方程在该区间上有实根,然后将对数方程化为二次方程,借助于二次函数的性质可以解决.
(1)由题意知,令,则
为g(x)的零点,因为
,所以
,由零点存在定理可知,函数
在区间
上至少有1个实根,即
至少有1个实根,
所以函数在
上有“※点”。
(2)若函数在
上有“※点”,则存在实数
,使得
成立,即
,
整理得,
。
当a=2时,,不合题意
当时,令
,则
在
上有零点。
当时,开口向下,对称轴
,
在
上单调递减,
,
所以在
上恒小于零,不合题意,当
时,开口向上,对称轴
,
由题意只要,即
,解得
。因为
,所以
.综上所述:
。
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