Question

已知函数f(x)=

3

sin

ωx+?

2

cos

ωx+?

2

+sin2

ωx+?

2

（ω＞0，0＜?＜

π

2

)．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为

1+ π2 16

，且过点(

π

3

，1)．
（Ⅰ）求函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=

5

，

CA

•

CB

=10，角C为锐角．且满足2a=4asinC-csinA，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．
（Ⅱ）根据条件2a=4asinC-csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．

解答：解：（Ⅰ）由于f(x)=

3

2

sin(ωx+?)+

1

2

[1-cos(ωx+?)]=sin(ωx+?-

π

6

)+

1

2

．（2分）
∵最高点与相邻对称中心的距离为

1+ π2 16

，则

T

4

=

π

4

，即T=π，（3分）
∴

2π

|ω|

=π，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）
又f（x）过点(

π

3

，1)，∴sin(

2π

3

+?-

π

6

)+

1

2

=1，即sin(

π

2

+?)=

1

2

，∴cos?=

1

2

．（5分）
∵0＜?＜

π

2

，∴?=

π

3

，∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．（6分）
（Ⅱ）2a=4asinC-csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC-sinCsinA，解得 sinC=

2

3

．（8分）
又∵0＜C＜

π

2

，∴cosC=

5

3

．（9分）
又a=

5

，

CA

•

CB

=abcosC=10，∴b=6，（11分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=21，∴c=

21

．（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．