题目内容
【题目】已知点,圆
:
,过点
的动直线
与圆
交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
求M的轨迹方程;
当|OP|=|OM|时,求的方程及
的面积
【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣3)2=2(2)
【解析】分析:(1)由圆的方程求出圆心坐标和半径,设出
的坐标,由
与
数量积等于
可得
的轨迹方程;(2)设
的轨迹的圆心为
,由
得到
,求出
所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到
所在直线方程,由点到直线的距离公式求出
到直线
的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出
的长度,代入三角形面积公式得结论.
详解:(1)由圆C:x2+y2﹣8y=0,得x2+(y﹣4)2=16,
∴圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.
设M(x,y),则,
.
由题意可得:.
即x(2﹣x)+(y﹣4)(2﹣y)=0.整理得:(x﹣1)2+(y﹣3)2=2.
由于点P在圆C内部,
∴M的轨迹方程是(x﹣1)2+(y﹣3)2=2.
(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆,
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
∵kON=3,∴直线l的斜率为﹣.
∴直线PM的方程为,即x+3y﹣8=0.
则O到直线l的距离为.
又N到l的距离为,
∴|PM|==
.
∴.
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