Question

17．已知椭圆C同时满足下列条件：①圆C与x轴相切；②在y=x直线截得弦长为2$\sqrt{7}$，③圆心在直线3x-y=0上，求圆C的方程．

Answer 1

分析 设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，由题设知圆心C（a，3a），R=3|a|，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程．

解答 解：∵圆心C在直线3x-y=0上，∴圆心C（a，3a），
又圆与x轴相切，∴R=3|a|．
又圆心C到直线y-x=0的距离$\frac{|2a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|a|．
∵在y=x直线截得弦长为2$\sqrt{7}$，
∴7+2a²=9a²，
∴a=±1，3a=±3．
∴圆心的坐标C分别为（1，3）和（-1，-3），
故所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9．

点评 本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．