Question

10．已知二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数的对称轴方程为$x=-\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）；
（3）探究：函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；
（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）；
（3）设函数P（m，n²），m∈N^*，n∈N^*，可定m²+m+11=n²，即可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为$x=-\frac{1}{2}$，
∴b=1．…（2分）
又∵二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），
∴1+b+c=13，
∴c=11，
∴f（x）=x²+x+11…（4分）
（2）由（1）得$g（x）=（{x-2}）•|x|=\left\{\begin{array}{l}{（{x-1}）^2}-1，（{x≥0}）\\-{（{x-1}）^2}+1，（{x＜0}）\end{array}\right.$．…（6分）
画出函数图象，如图：
；
结合图象可知当1≤t＜2时，$g{（x）_{min}}={t^2}-2t$；…（7分）
当$1-\sqrt{2}≤t＜1$时，g（x）_min=-1；…（8分）
当$t＜1-\sqrt{2}$时，$g{（x）_{min}}=-{t^2}+2t$．…（9分）
综上所述$H（t）=\left\{\begin{array}{l}-{t^2}-2t，1≤t＜2\\-1，1-\sqrt{2}≤t＜1\\-{t^2}+2t，t＜1-\sqrt{2}\end{array}\right.$．…（10分）
（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，
设函数P（m，n²），m∈N^*，n∈N^*，∴m²+m+11=n²．…（11分）
∵m（m+1）=n²-11＞0，
∴由m（m+1）为偶数，有n为奇数，且n≥4，
∴n=5，7，9，11．
验证∴n=11，m=10，
∴存在点（10，121）…（14分）

点评 本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．