Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点是（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），且由椭圆上顶点、右焦点和原点组成的三角形面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（0，4），M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，证明：直线ME与y轴相交于定点．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用c以及三角形的面积求出a、b的值即可；
（2）根据题意，求出直线l_ME的方程，令x=0求出直线与y轴的交点，判断是否为定值．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
且椭圆的上顶点、右顶点和原点分别为B，A，O，
半焦距为c，则c=$\sqrt{3}$，
又S_△ABO=$\frac{1}{2}$•b•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=1，
∴a²=b²+c²=4，
∴所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；…（5分）
（2）设N（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、M（-x₁，y₁），
直线PN的方程为y=kx+4，则
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=kx+4}\end{array}\right.$，消去y得：
（1+4k²）x²+32kx+60=0…（7分）
由根与系数的关系，得
x₁+x₂=$\frac{-32k}{1+{4k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{60}{1+{4k}^{2}}$…（8分）
∴直线l_ME的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{+x}_{1}}$（x+x₁）；…（9分）
∴当x=0时，y=$\frac{{（y}_{2}{-y}_{1}{）x}_{1}}{{x}_{1}{+x}_{2}}$+y₁
=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{x}_{1}{+}_{{x}_{2}}}$
=$\frac{{x}_{2}（{kx}_{1}+4）{+x}_{1}（{kx}_{2}+4）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$
=$\frac{2{{kx}_{1}x}_{2}+4{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$
=$\frac{120}{-32}$+4
=$\frac{1}{4}$；…（12分）
∴直线ME与y轴相交于定点$（0，\frac{1}{4}）$．（13分）

点评 本题考查了椭圆的定义与标准方程的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查了对称性问题的应用，是综合性题目．