Question

6．设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是非零向量，下列命题正确的是（　　）

• A． （$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）
• B． |$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{b}$|²
• C． 若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°
• D． 若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°

Answer 1

分析 运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角的求法，即可判断A，B，C不正确，D正确．

解答 解：对于A，（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$为与$\overrightarrow{c}$共线的向量，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）为与$\overrightarrow{a}$共线的向量，故A不正确；
对于B，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+|$\overrightarrow{b}$|²，故B不正确；
对于C，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，即有|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$²，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，故C不正确；
对于D，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，即有|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$²，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，故D正确．
故选D．

点评 本题考查向量的数量积的性质和夹角求法，属于中档题和易错题．