Question

1．已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-7，则|$\overrightarrow{PB}$|的最小值是4．

Answer 1

分析 可考虑让条件$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}=-7$中出现$\overrightarrow{PB}$：$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}）•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}）=-7$，进一步得到${\overrightarrow{PB}}^{2}+\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=-7$，可设$\overrightarrow{PB}$和$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$夹角为θ，从而得到$|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|cosθ+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=-7$，而根据条件可以求出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|$，这样根据-1≤cosθ≤1即可得出$|\overrightarrow{PB}|$的取值范围，从而得出$|\overrightarrow{PB}|$的最小值．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$=$\frac{1}{2}（{7}^{2}+{9}^{2}-{8}^{2}）=33$；
∴$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}={\overrightarrow{BA}}^{2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$=49+66+81=196；
∴$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=14$；
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}=-7$得$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}）•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}）$=${\overrightarrow{PB}}^{2}+\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=-7$；
∴${\overrightarrow{PB}}^{2}+|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|cosθ$$+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-7，θ为向量$\overrightarrow{PB}$和$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$的夹角；
∴${\overrightarrow{PB}}^{2}+14|\overrightarrow{PB}|cosθ+33=-7$；
∴$cosθ=-\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+40}{14|\overrightarrow{PB}|}$，-1≤cosθ≤1；
∴$-1≤-\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+40}{14|\overrightarrow{PB}|}≤1$；
解得$4≤|\overrightarrow{PB}|≤10$；
∴|$\overrightarrow{PB}$|的最小值为4．
故答案为：4．

点评 考查数量积的计算公式，余弦定理，向量长度的求法：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$，向量加法的几何意义，以及余弦函数的值域，解一元二次不等式．