Question

17．已知函数f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$．
（1）判断函数g（x）=f（x-1）+1的奇函数，并说明理由；
（2）用减函数的定义证明f（x）在（-1，0）上为减函数；
（3）求证：曲线y=a^x（a为常数，且a＞1）与曲线y=f（x）有交点，且两曲线的交点不可能落在y轴的左侧．

Answer 1

分析 （1）先求出g（x）的表达式，根据奇函数的定义进行判断即可；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，作差得：f（x₁）-f（x₂）＞0，从而得到函数的单调性；
（3）先根据函数零点的判定定理得到函数有零点，即曲线y=a^x（a是常数，a＞1）与曲线y=f（x）有交点，假设两曲线的交点落在y轴的左侧，
法一：通过讨论x₀的范围，得到函数的单调性，推出矛盾，法二：问题转化为0＜$\frac{2{-x}_{0}}{{x}_{0}+1}$＜1（*），通过解不等式，推出矛盾，从而得到答案．

解答 解：（1）g（x）=f（x-1）+1=$\frac{2-（x-1）}{（x-1）+1}$+1=$\frac{3}{x}$，
∵函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且g（-x）=-$\frac{3}{x}$=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数；
（2）f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$=$\frac{3}{x+1}$-1，
任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$（\frac{3}{{x}_{1}+1}-1）$-$（\frac{3}{{x}_{2}+1}-1）$=$\frac{3{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$，
由-1＜x₁＜x₂＜0，得：x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），
根据减函数的定义，f（x）在（-1，0）上为减函数；
（3）曲线y=a^x（a＞1）与曲线y=f（x）有交点
?函数h（x）=a^x-$\frac{2-x}{x+1}$有零点，
∵h（0）=1-$\frac{2}{1}$=-1＜0，h（1）=a-$\frac{1}{2}$＞0，
又函数h（x）在[0，1]上的图象是连续不断的曲线，
∴h（x）在（0，1）上有零点，
因此，曲线y=a^x（a是常数，a＞1）与曲线y=f（x）有交点，
下面证明两曲线的交点不可能落在y轴的左侧，
解法一：假设存在两曲线的交点在y轴的左侧，
则存在x₀＜0（x₀≠-1），使得f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$，
①当-1＜x₀＜0时，由f（x）在（-1，0）上为减函数，得f（x₀）＞f（0）=2，
∵函数y=a^x（a＞1）在（-1，0）上为增函数，∴${a}^{{x}_{0}}$＜a⁰，即${a}^{{x}_{0}}$＜1，
∴f（x₀）＞${a}^{{x}_{0}}$，这与f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$矛盾；
②当x₀＜-1时，2-x₀＞0，x₀+1＜0，则f（x₀）=$\frac{2{-x}_{0}}{{x}_{0}+1}$＜0，
而${a}^{{x}_{0}}$＞0，∴f（x₀）＜${a}^{{x}_{0}}$，这与f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$矛盾，
综上，曲线y=a^x（a＞1）与曲线y=f（x）的交点不可能落在y轴的左侧；
解法二：假设存在两曲线的交点在y轴的左侧，
则存在x₀＜0（x₀≠-1），使得f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$，
又y=a^x（a＞1）在R上是增函数，∴0＜${a}^{{x}_{0}}$＜a⁰，即0＜${a}^{{x}_{0}}$＜1，
于是：0＜$\frac{2{-x}_{0}}{{x}_{0}+1}$＜1（*），
∵x₀＜0，∴2-x₀＞0，从而由不等式（*）得：x₀+1＞0，且2-x₀＜x₀+1，
于是，x₀＞$\frac{1}{2}$，这与x₀＜0矛盾，
∴假设不成立，从而要证的结论成立．

点评 本题考查了函数的奇偶性，定义法证明函数的单调性，考查函数的零点问题，是一道中档题．