题目内容

【题目】已知函数.

(Ⅰ)证明: 当时, .

(Ⅱ)证明: 当时, .

【答案】(1)详见解析;(Ⅱ)详见解析.

【解析】试题分析:

()由不等式的特征构造函数,结合函数的单调性求得函数的最大值,据此即可证得题中的结论: .

()结合(I)的结论构造函数,研究该函数的性质即可证得当时, .

试题解析:

(Ⅰ)证明: 要证, 也即证.

, 则. 令, 则. 因此, 当时, 有, 故上单调递减; 当时, 有, 故上单调递增.

所以, 上的最大值为.

, . 故成立, 即成立. 原命题得证.

(Ⅱ) 证明: 由 (I) 得: 当时,

, 则

所以, 上单调递增,即

所以 得证.

下证.

即证

,所以上单调递增,

所以, ,得证.

另证:要证,即证

上递增,所以得证.

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