题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)证明: 当时, .
(Ⅱ)证明: 当时, .
【答案】(1)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由不等式的特征构造函数,结合函数的单调性求得函数的最大值,据此即可证得题中的结论: .
(Ⅱ)结合(I)的结论构造函数,研究该函数的性质即可证得当时, .
试题解析:
(Ⅰ)证明: 要证, 也即证.
令, 则. 令, 则. 因此, 当时, 有, 故在上单调递减; 当时, 有, 故在上单调递增.
所以, 在上的最大值为.
又, . 故成立, 即成立. 原命题得证.
(Ⅱ) 证明: 由 (I) 得: 当时,
令, 则
所以, 在上单调递增,即
所以 得证.
下证.
即证
令则,所以在上单调递增,
所以, ,得证.
另证:要证,即证,
令在上递增,所以得证.
练习册系列答案
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【题目】为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机地对入院
的50人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽取6人,其中男性抽多少人?
(2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女性的概率;
(3)为了研究心肺疾病是否与性别有关,请计算出统计量,判断是否有的把握认为
患心肺疾病与性别有关?
右面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式: )