Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|
（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；
（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，

当（x﹣2）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤2时，取等号，

∴f（x）的最小值是3

（2）解：∵f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|，

当（x﹣a）（x+1）≤0时取等号，

∴若关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，

只需|a+1|＜2，解得﹣3＜a＜1，

∴实数a的取值范围是（﹣3，1）

【解析】（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0时，取等号，由此f（x）的最小值是3．（2）关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出实数a的取值范围
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．