题目内容
已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,
求证: ab>ba.
求证: ab>ba.
证明略
证法一: ∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,
设f(b)=blna-alnb(b>e),则f′(b)=lna-.
∵b>a>e,∴lna>1,且<1,∴f′(b)>0.
∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,
∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,
∴blna>alnb,∴ab>ba.
证法二: 要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b,即证,
设f(x)=(x>e),则f′(x)=<0,
∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
∴f(a)>f(b),即,∴ab>ba.
设f(b)=blna-alnb(b>e),则f′(b)=lna-.
∵b>a>e,∴lna>1,且<1,∴f′(b)>0.
∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,
∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,
∴blna>alnb,∴ab>ba.
证法二: 要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b,即证,
设f(x)=(x>e),则f′(x)=<0,
∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
∴f(a)>f(b),即,∴ab>ba.
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