题目内容
3.设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x-[x],x≤0}\\{f(x-1),x>0}\end{array}\right.$,其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[-1,2]=-2,[1,2]=1,[1]=1.则(i)f(3.15)=0.15; (ii)若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的根,则实数k的取值范围是$\frac{1}{4}$≤k<$\frac{1}{3}$或-1<k≤-$\frac{1}{2}$.分析 (i)根据条件直接求解
(ii)画出函数f(x)=x-[x]的图象,利用数学结合探索题中交点个数,得出k的范围.
解答 解:(i)f(3.15)=f(0.15)=f(-0.85)=-0.85-[-0.85]=-0.85-(-1)=0.15;
(ii)函数f(x)=x-[x]的图象如下图所示:
y=kx+k表示恒过A(-1,0)点斜率为k的直线
若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根.
则函数f(x)=x-[x]与函数f(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点
由图可得:
当y=kx+k过(2,1)点时,k=$\frac{1}{3}$,
当y=kx+k过(3,1)点时,k=$\frac{1}{4}$,
当y=kx+k过(-2,1)点时,k=-1,
当y=kx+k过(-3,1)点时,k=-$\frac{1}{2}$,
则实数k满足 $\frac{1}{4}$≤k<$\frac{1}{3}$或-1<k≤-$\frac{1}{2}$.
点评 考查了周期函数和利用数学结合解决方程根的问题.
练习册系列答案
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A. | 一定大于0 | B. | 一定小于0 | C. | 等于0 | D. | 正负都有可能 |